IX OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL
Brasil, 1998
PROBLEMA 1
São dados 98 cartões.
Em cada um deles está escrito um dos números
1, 2, 3, ..., 98 (não existem números repetidos).
Pede-se ordenar os 98 cartões de tal modo que, ao considerar dois cartões consecutivos, a
diferença entre o número maior e o número menor escrito neles seja sempre maior que 48.
Indicar como e de quantas formas é possível efetuar a ordenação.
PROBLEMA 2
Sejam H o ortocentro (interseção das
alturas) do triângulo acutângulo ABC e M
o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em
que a reta HM intersecta o arco BC (que não
contém A) da circunferência circunscrita a ABC.
Seja Y o ponto de interseção da reta BH
com a circunferência, distinto de B. Demonstre que XY
= BC.
PROBLEMA 3
Prove que, pelo menos paral 30% dos
naturais n entre 1 e 1.000.000, o primeiro dígito de 2n
é 1.
PROBLEMA 4
Determine todas as funções f tais
que
f(x2) - f(y2)
+ 2x + 1 = f(x + y) · f(x
- y)
quaisquer que sejam os números reaisx,
y.
PROBLEMA 5
Em Terra Brasilis existem n
casas onde vivem n duendes, cada um em uma casa. Existem
estradas de mão única tais que:
cada estrada une duas casas;
em cada casa começa exatamente uma
estrada;
em cada casa termina exatamente uma
estrada.
Todos os días, a partir do dia 1, cada duende
sai da casa onde está e chega à casa vizinha. Uma lenda
de Terra Brasilis diz que, quando todos os duendes
regressarem à posição original, o mundo acabará .
Demonstre que o mundo acabará.
Se n = 98, demonstre que é
possível que os duendes construam e orientem as estradas
de modo que o mundo não acabe antes de 300.000 anos.
PROBLEMA 6
O prefeito de uma cidade deseja estabelecer um
sistema de transportes com pelo menos uma linha de ônibus, no qual:
cada linha passe exatamente por três
paradas;
cada duas linhas distintas tenham
exatamente uma parada em comum;
para cada duas paradas de ônibus
distintas exista exatamente uma linha que passe por ambas.
Determine o número de paradas de ônibus da
cidade.
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