Seja n um inteiro positivo. Seja T o conjunto de pontos (x; y) no plano onde x e y são inteiros não negativos e x + y < n. Cada ponto de T é pintado de vermelho ou azul. Se um ponto (x; y) é vermelho, então todos os pontos (x'; y') com x' £ x e y' £ y também são. Um conjunto X é um conjunto de n pontos azuis com abcissas distintas, e um conjunto Y é um conjunto de n pontos azuis com ordenadas distintas. Prove que o número de conjuntos X é igual ao número de conjuntos Y.

Seja BC um diâmetro do círculo de centro O. Seja A um ponto de tal que Seja D o ponto médio do arco AB que não contém C.

A reta que passa por O e é paralela a DA encontra a reta AC em J. A mediatriz de OA corta em E e F. Prove que J é o incentro do triângulo CEF.

Encontre todos os pares de inteiros m, n ³ 3 tais que há infinitos inteiros positivos a para os quais é inteiro.

Seja n inteiro maior que 1. Os divisores positivos de n são d₁, d₂,…,d_k , onde

Seja D = d₁d₂ + d₂d₃ +…+d_{k – 1} d_k.

1. Prove que D < n².

(b) Encontre todos os valores de n para os quais D é um divisor de n².

Encontre todas as funções f de R em R tais que

para todo x, y, z, t Î R.

Sejam círculos de raio 1 no plano, onde n ³ 3. Seus centros são O₁, O₂,…,O_n, respectivamente.

Suponha que não exista reta que intercepte mais que dois dos círculos. Prove que