XL OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA
Romênia, 1999.
PROBLEMA 1
Determine todos os conjuntos finitos S de pontos do plano com pelo menos três elementos que satisfazem a seguinte condição:
Para quaisquer dois pontos distintos A e B de S, a mediatriz do segmento AB é um eixo de simetria de S.
PROBLEMA 2
Seja n ³ 2 um inteiro fixo.
a) Determinar a menor constante C para a qual a desigualdade
é válida para quaisquer números reais x1, …, xn ³ 0.
b) Para esta constante C, determine quando ocorre a igualdade.
PROBLEMA 3
Considere um tabuleiro quadrado n ´ n, onde n é um inteiro positivo par fixo. O tabuleiro está dividido em n2 quadrados unitários. Dizemos que dois quadrados distintos do tabuleiro são adjacentes se eles têm um lado comum.
Marcam-se N quadrados unitários do tabuleiro de tal forma que qualquer quadrado (marcado ou não) é adjacente a pelo menos um quadrado marcado.
Determine o menor valor possível para N.
PROBLEMA 4
Determine todos os pares (n, p) de inteiros estritamente positivos tais que
p é primo,
n £ 2p, e
(p – 1)n + 1 é divisível por np–1.
PROBLEMA 5
Duas circunferências G1 e G2 estão contidas no interior de uma circunferência G e são tangentes a G em pontos distintos M e N, respectivamente. A circunferência G1 passa pelo centro de G2. A reta que passa pelos dois pontos de interseção de G1 e G2 intersecta G em A e B. As retas MA e MB intersectam G1 respectivamente em C e D.
Prove que CD é tangente a G2.
PROBLEMA 6
Determine todas as funções f : R ® R tais que
para quaisquer x, y Î R.
