XVII Olimpíada Iberoamericana de Matemática
El Salvador, 2002
PROBLEMA 1
Os números inteiros desde
1 até 2002, ambos incluídos, escrevem-se num quadro por ordem crescente 1, 2,..., 2001, 2002. Em seguida apagam-se os que ocupam o primeiro lugar, quarto lugar, sétimo lugar, etc., ou seja, os que ocupam os lugares da forma 3k + 1.Na nova lista apagam-se os números que estão nos lugares da forma
3k + 1. Repete-se este processo até que se apagam todos os números da lista. Qual foi o último número que se apagou?
PROBLEMA 2
Dado qualquer conjunto de
9 pontos no plano entre os quais não existem três colineares, demonstre que para cada ponto P do conjunto, o número de triângulos que têm como vértices três dos oito pontos restantes e P no seu interior, é par.
PROBLEMA 3
Um ponto
P é interior ao triângulo equilátero ABC e é tal que
. Sejam M a intersecção de CP com AB e N a intersecção de AP com BC. Encontrar o lugar geométrico do circuncentro do triângulo MBN quando P varia.
PROBLEMA 4
Num triângulo escaleno
ABC traça-se a bissectriz interna BD, com D sobre AC. Sejam E e F, respectivamente, os pés das perpendiculares traçadas desde A e C até à recta BD, e seja M o ponto sobre o lado BC tal que DM é perpendicular a BC.Demonstre que 
PROBLEMA 5
A sucessão de números reais 
define-se como:
e 
para cada inteiro 
Demonstre que existe um inteiro 
tal que 
PROBLEMA 6
Um polícia tenta capturar um ladrão num tabuleiro de 
Eles jogam alternadamente. Cada jogador, na sua vez, deve mover-se uma casa num dos três seguintes sentidos:
Se o polícia se encontra na casa da esquina inferior direita, pode usar a sua jogada para passar directamente para a casa da esquina superior esquerda (o ladrão não pode fazer esta jogada). Inicialmente o polícia está na casa central e o ladrão está na casa vizinha diagonal superior direita do polícia. O polícia começa o jogo.
Demonstre que:
- O ladrão consegue mover-se pelo menos 10000 vezes sem ser capturado.
- O polícia possui uma estratégia para capturar o ladrão.
Nota: O polícia captura o ladrão quando entra na casa em que está o ladrão. Se o ladrão entra na casa do polícia, não há captura.
