XI OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA

    Costa Rica, 1996.



    PROBLEMA 1

    Seja n um número natural. Un cubo de aresta n pode ser dividido en 1996 cubos cujas arestas são também números naturais. Determine o menor valor possível de n.



    PROBLEMA 2

    Seja M o ponto médio da mediana AD do triângulo ABC (D pertence ao lado BC). A reta BM corta o lado AC no ponto N. Demonstre que AB é tangente à circunferência circunscrita ao triângulo NBC se, e somente se, se verifica a igualdade

    BM/MN = (BC^2) / (BN^2)



    PROBLEMA 3

    Temos um tabuleiro quadriculado de k2-k+1 linhas e k2-k+1 colunas, onde k=p+1 e p é um número primo. Para cada primo p, dê um método para distribuir números 0 e 1, um número em cada casa do tabuleiro, de modo que em cada fila haja exatamente k números 0 e, além disso, não haja nenhum retângulo de lados paralelos aos lados do tabuleiro com números 0 em seus quatro vértices.



    PROBLEMA 4

    Dado un número natural n>=2, considere todas as frações da forma 1/ab, onde a e b são números naturais, primos entre sí e tais que

    a < b =<n

    a + b > n

    Demonstre que para cada n a soma destas frações é 1/2.



    PROBLEMA 5

    Três fichas A, B e C estão situadas uma em cada vértice de um triângulo equilátero de lado n. O triângulo foi dividido em triângulos equiláteros de lado 1, tal como mostra a figura no caso n=3.

    Triangulitos

    Inicialmente todas as linhas da figura estão pintadas de azul. As fichas se deslocam pelas linhas, pintando de vermelho sua trajetória, de acordo com as duas regras seguintes:

    i. Primeiro se move A, depois B, depois C, depois A e assim sucessivamente por turnos. Em cada movimento, a ficha percorre exatamente um lado de um triângulo de um extremo ao outro.

    ii. Nenhuma ficha pode percorrer um lado de um triângulo que já esteja pintado de vermelho; mas pode se mover para um extremo pintado, inclusive se já houver outra ficha esperando ali a sua vez.

    Demonstre que para todo inteiro n>0 é possível pintar de vermelho todos os lados dos triângulos.



    PROBLEMA 6

    Tem-se n pontos distintos A1 , ... , An no plano e a cada ponto Ai se associa um número real lidiferente de zero, de maneira que

    ( AiAj )^2 = li + lj

    para todos os i, j com i/=j.

    Demonstre que a) n =<4

    b) Se n = 4, então 1/l1 + 1/l2 + 1/l3 + 1/l4 = 0


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