XII OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA

    Mexico, 1997

    PROBLEMA 1

    Seja r 1 um número real que satisfaz a seguinte propriedade:

    Para cada par de números inteiros positivos m e n, com n múltiplo de m, tem-se que [nr] é múltiplo de [mr].

    Provar que r é um número inteiro.
    Nota: Se x é um número real, denotamos por [x] o maior inteiro menor do que ou igual a x.



    PROBLEMA 2

    Com centro no incentro I de um triângulo ABC traça-se uma circunferência que corta cada lado do triângulo em dois pontos: o segmento BC em D e P (sendo D o mais próximo a B); o segmento CA em E e Q (sendo E o mais próximo a C), e o segmento AB em F e R (sendo F o mais próximo a A).
    Seja S o ponto de interseção das diagonais do quadrilátero EQFR. Seja T o ponto de interseção das diagonais do quadrilátero FRDP. Seja U o ponto de interseção das diagonais do quadrilátero DPEQ.
    Demonstrar que as circunferências circunscritas aos triângulos FRT, DPU e EQS têm um único ponto comum.



    PROBLEMA 3

    Sejam n 2 um número inteiro e Dn o conjunto dos pontos (x, y) do plano cujas coordenadas são números inteiros com

    -n x n   e   -n y n.

    1. Dispõe-se de 3 cores, devendo cada cada um dos pontos de Dn ser colorido com uma delas. Demonstrar que, independentemente da forma como os pontos sejam coloridos, há sempre dois pontos de Dn com a mesma cor tais que a reta que os contém não passa por nenhum outro ponto de Dn.
    2. Encontrar uma forma de colorir os pontos de Dn utilizando 4 cores de maneira que se uma reta contém exatamente dois pontos de Dn, então esses dois pontos têm cores distintas.


    PROBLEMA 4

    Seja n um inteiro positivo. Consideremos a soma x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, onde as variáveis x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn podem assumir somente os valores 0 e 1. Seja I(n) o número de 2n-plas (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) para as quais o valor da soma é um número ímpar e seja P(n) o número de 2n-plas (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) para as quais a soma toma valor par. Provar que

    (P(n) / I(n)) = ((2^n) + 1)/((2^n) - 1)



    PROBLEMA 5

    Em um triângulo acutângulo ABC sejam AE eBF duas alturas, e seja H o ortocentro. A reta simétrica de AE com respeito à bissetriz (interna) do ângulo A e a reta simétrica de BF com respeito à bissetriz (interna) do ângulo B cortam-se em um ponto O. As retas AE e AO cortam pela segunda vez a circunferência circunscrita ao triângulo ABC nos pontos M e N, respectivamente.
    Sejam: P, a interseção de BC com HN; R, a interseção de BC com OM; e S a interseção de HR com OP.
    Demonstrar que AHSO é um paralelogramo.



    PROBLEMA 6

    Seja P = {P1, P2, ..., P1997} um conjunto de 1997 pontos no interior de um círculo de raio 1, sendo P1 o centro do círculo. Para cada k = 1, ..., 1997 seja xk a distância de Pk ao ponto de P mais próximo a Pk e distinto de Pk. Demonstrar que

    (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_1997)^2 <= 9


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