XIII OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA

    República Dominicana, 1998



    PROBLEMA 1

    São dados 98 pontos sobre uma circunferência. Maria e José jogam alternadamente da seguinte maneira: cada um deles traça um segmento unindo dois dos pontos dados que não tenham sido unidos entre si anteriormente. O jogo termina quando os 98 pontos tenham sido usados como extremos de um segmento pelo menos uma vez. O vencedor é a pessoa que faz o último traço. Se o José começa o jogo, quem pode garantir a sua própria vitória?

    PROBLEMA 2

    A circunferência inscrita no triângulo ABC é tangente aos lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F, respectivamente. AD corta a circunferência num segundo ponto Q. Demonstrar que a reta EQ passa pelo ponto médio de AF se e somente se = .

    PROBLEMA 3

    Encontrar o menor número natural n com a seguinte propriedade: entre quaisquer n números distintos do conjunto {1, 2, , 999} pode-se escolher quatro números diferentes a, b, c, d, tais que a + 2b + 3c = d.

    PROBLEMA 4

    Em volta de uma mesa redonda estão sentados representantes de n países (n ³ 2), satisfazendo a seguinte condição: se duas pessoas são do mesmo país, então, seus respectivos vizinhos da direita não podem ser de um mesmo país. Determinar, para cada n, o número máximo de pessoas que pode haver em volta da mesa.

    PROBLEMA 5

    Encontrar o maior valor possível n para que existam pontos distintos P1, P2, P3, , Pn no plano, e números reais r1, r2, , rn de modo que a distância entre quaisquer dois pontos diferentes Pi e Pj seja ri + rj.

    PROBLEMA 6

    Seja l a raiz positiva da equação t2 - 1998t - 1 = 0. Define-se a sucessão x0, x1, x2, , xn , por:

    Encontrar o resto da divisão de x1998 por 1998.

    Nota: [x] indica a parte inteira de x, ou seja, [x] é o único inteiro k tal que

    k £ x < k + 1.

     


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