PROBLEMA 1

Encontre todos os inteiros positivos que são menores que 1000 e cumprem a seguinte condição: o cubo da soma dos seus dígitos é igual ao quadrado do referido inteiro.

Dadas duas circunferências M e N, dizemos que M bissecta N se a corda comum é um diâmetro de N.

Considere duas circunferências fixas C₁ e C₂ não-concêntricas.

1. Prove que existem infinitas circunferências B tais que B bissecta C₁ e B bissecta C₂.
2. Determine o lugar geométrico dos centros das circunferências B.

Sejam P₁, P₂,…, P_n n pontos distintos sobre uma reta do plano (n ³ 2).

Consideram-se as circunferências de diâmetro (1 £ i < j £ n) e colorimos cada circunferência com uma cor escolhida entre k cores dadas.

Chamamos (n, k)-nuvem a esta configuração.

Para cada inteiro positivo k, determine todos os n para os quais se verifica que qualquer (n,k)-nuvem contém duas circunferências tangentes exteriormente da mesma cor.

Nota: Para evitar ambiguidades, os pontos que pertencem a mais de uma circunferência não são coloridos.

Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos pertence ao conjunto {1, 3, 7, 9}. Demonstre que B tem fator primo maior ou igual a 11.

Um triângulo acutângulo ABC está inscrito numa circunferência de centro O. As alturas do triângulo são AD, BE, e CF. A reta EF intersecta a circunferência em P e Q.

1. Prove que OA é perpendicular a PQ.
2. Se M é o ponto médio de BC, prove que

Sejam A e B pontos do plano e C um ponto da mediatriz de AB.Constrói-se uma sucessão C₁, C₂,…, C_n ,…., da seguinte maneira:

C₁ = C e, para n ³ 1, se C_n não pertence ao segmento AB, C_n+1 é o circuncentro do triângulo ABC_n.

Determine todos os pontos C tais que a sucessão C₁, C₂,…, C_n,…está definida para todo n e é periódica a partir de um certo ponto.

Nota: Uma sucessão C₁, C₂, …, C_n,… é periódica a partir de um certo ponto se existem inteiros positivos k e p tais que para todo