São escolhidos 2 números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?

Num paralelogramo ABCD, BD é a diagonal maior. Ao fazer coincidir B com D mediante uma dobra se forma um pentágono regular.

Calcular as medidas dos ângulos que forma a diagonal BD com cada um dos lados do paralelogramo.

Em cada um dos 10 degraus de uma escada existe uma rã. Cada rã pode, de um pulo, colocar-se em outro degrau, mas quando uma rã faz isso, ao mesmo tempo, uma outra rã pulará a mesma quantidade de degraus em sentido contrário: uma sobe e outra desce.

Conseguirão as rãs colocar-se todas juntas num mesmo degrau?

Dez cartões quadrados de 3 centímetros de lado cortam-se por uma línha, como mostra a figura.

Depois dos cortes tem-se 20 peças: 10 triângulos e 10 trapézios. Forme um quadrado que utilize as 20 peças sem superposições nem espaços.

Ana, Beatriz, Carlos, Diego e Emilia jogam um torneio de xadrez.

Cada jogador enfrenta uma vez só cada um dos outros quatro jogadores.

Cada jogador consegue 2 pontos se ganha a partida, 1 ponto se empata e 0 pontos se perde a partida.

Ao finalizar o torneio, as pontuações dos 5 jogadores são todas diferentes.

Encontre o máximo número de empates que pode ter tido o torneio e justifique por que não pode ter havido um número maior de empates.

No arco AB, se consideram os pontos P e Q de forma tal que a reta PQ seja paralela a reta AB.

Sejam X e Y os pontos de interseção da reta PQ com as retas OA e OB respectivamente.

Calcular

A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente.

A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem.

Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima.

Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos?

Seja ABC um triângulo equilátero. M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto médio do segmento BC.

Seja P o ponto exterior a ABC tal que o triângulo ACP é isósceles e retângulo em P. PM e AN cortam-se em I. Prove que CI é a bisetriz do ângulo MCA.

São dados 12 pontos que são os vértices de um polígono regular de 12 lados. Rafael deve traçar segmentos que tenham seus dois extremos em dois dos pontos desenhados.

É permitido que cada ponto seja extremo de mais de um segmento e que os segmentos se cruzem, mas é proibido traçar três segmentos que sejam os três lados de um triângulo em que cada vértice é um dos 12 pontos iniciais.

Encontre o número máximo de segmentos que pode traçar Rafael e justifique por que não é possivel traçar um número maior de segmentos.