V OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA

    9 DE NOVEMBRO DE 2002

     

     

    PROBLEMA 1. [4 pontos]

    Encontre todos os inteiros positivos n para os quais existe um inteiro m tal que

     

    PROBLEMA 2. [5 pontos]

    Calcule o volume do sólido em R3 descrito por

    ,

     

    PROBLEMA 3. [5 pontos]

    A velocidade em terra de uma avião é a velocidade escalar de sua projeção radial na terra (i.e., a interseção da superfície da terra com o segmento que liga o centro da terra ao avião).

    1. [2 pontos] Supondo que a terra seja uma esfera perfeita, prove que a velocidade em terra é sempre menor ou igual à velocidade do avião.
    2. [3 pontos] Supondo que a terra seja um elipsóide de revolução, determine se a velocidade em terra ainda é sempre menor ou igual à velocidade do avião.

     

    PROBLEMA 4. [6 pontos]

    Diga se existe uma enumeração de todos os racionais positivos para a qual exista o limite

    .

     

    PROBLEMA 5. [6 pontos]

    Prove que, para , não existem polinômios não constantes com coeficientes reais e primos entre si tais que

      

     PROBLEMA 6. [8 pontos]

    Dado um inteiro positivo e um número real positivo , seja o número máximo de elementos de um conjuntotal que para todo e

    Dado , diga se existe algum inteiro positivo para o qual

    Obs. : denota o produto interno entre v e v'.

     

    PROBLEMA 7. [9 pontos]

    Prove que existem funções contínuas tais que

    2. Para toda seqüência (bn) de termos positivos com existe tal que

     


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