XIX OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA - 1999

    Modalidade: 1o. Grau (7a. e 8a. Séries)

     

    PROBLEMA 1

    Na equação , os números p e q são inteiros positivos.

    a) Mostre que se essa equação tem duas raízes reais e iguais então, p é par.

    b) Em que situação essa equação não possui raízes reais e iguais ? Justifique.

     

    PROBLEMA 2

    Azambuja escreveu __4__1__6__3__ no quadro de sua sala de aula. Disse para seus colegas que eles dispunham dos algarismos 9, 8 e 5 para colocar dois deles em dois espaçõs vazios, apagar os espaçõs não preenchidos e assim obter um número de seis algarismos diferentes. Quais algarismos devem ser escolhidos e onde colocá-los para formar o maior número possível que seja divisível por 6 ?

     

    PROBLEMA 3

    Achar todos os conjuntos de quatro inteiros consecutivos tais que o maior desses inteiros divida o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos outros três.

     

    PROBLEMA 4

    Se p e são números primos positivos, prove que p = 3.

     

    PROBLEMA 5

    Seja n um inteiro positivo e a soma de todos os divisores positivos de n. Prove que , para todo n.

     

    PROBLEMA 6

    Sejam AB e CD duas retas paralelas cortadas por uma transversal nos pontos E e F, respectivamente. As linhas EM e EN tricectam o ângulo Ð FEB e as retas FL e FO tricectam o ângulo Ð EFD com (Ð FEM) < (Ð FEN) e (Ð EFL) < (Ð EFO). Seja P a interseção de EM e FL e Q a interseção de EN e FO. Através de P desenhe a reta paralela a FQ cortando EQ em G e a linha paralela a EQ cortando FQ em H. A linha GH corta AB em J e CD em K. Mostre

    que JG = GH = HK.

     

    Modalidade: 2o. Grau (Ensino Médio)

     

    PROBLEMA 1

    Um aviador está a uma distância h da Terra que vamos admitir como sendo uma esfera de raio r. Se S é a porção total da superfície da Terra visível pelo aviador, encontre S em termos de r e h.

     

    PROBLEMA 2

    Teorema: Para todo n, num conjunto de n bolas todas elas possuem a mesma cor

    Corolário: Todas as bolas do mundo têm a mesma cor

    Demonstração do Teorema

    A demonstração do teorema será feita usando o Princípio da Indução Finita. O resultado é válido para n = 1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas têm a mesma cor ! Suponha que o teorema é válido para todo conjunto com i bolas. Considere um conjunto com i + 1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto restante possui i bolas e pela hipótese indutiva todas possuem a mesma cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarela desse conjunto e retorne a bola de cor desconhecida, anteriormente retirada. Obtemos novamente um conjunto com i bolas e pelo o que foi discutido anteriormente possui i 1 bolas amarelas e pela hipótese indutiva possui todas as bolas de mesma cor. Segue que a bola de cor desconhecida também é amarela. Assim todas as i + 1 bolas são amarelas.

    Como você sabe existem bolas de várias cores. Descubra o que está errado na demonstração do teorema.

     

    PROBLEMA 3

    Sejam a e z números complexos tais que . Mostre que se então .

     

    PROBLEMA 4

    No país da Verdade, onde ninguém mente, reuniram-se os amigos Marcondes, Francisco e Fernando. Entre os três ocorreu a seguinte conversa:

    • Marcondes fala: estou escolhendo dois números inteiros positivos cujos valores não revelo e vou dar, em segredo, a soma deles para o Francisco e o produto deles para o Fernando.
    • Francisco fala: o valor que me foi dado não excede 16.
    • Fernando fala: eu não consigo achar os valores dos dois números escolhidos pelo Marcondes.
    • Francisco fala: eu já sabia que você não encontraria os valores dos dois números.
    • Fernando fala: ah, então eu sei quem são os dois números.

    Agora responda:

    a) Qual o valor que foi dado a Francisco ?

    b) Baseado em que o Fernando fez a última afirmativa ?

     

    PROBLEMA 5

    Uma cidade tem um número finito de linhas de ônibus de modo que:

    a) Cada linha tem, pelo menos, três paradas;

    b) Cada duas paradas são ligadas por alguma linha;

    c) Cada duas linhas têm uma única parada em comum.

    Prove que cada linha tem o mesmo número de paradas, digamos n, e que por cada parada passa exatamente n linhas.

     

    PROBLEMA 6

    Dizemos que a função f possui um ponto de estrangulamento em n se:

    m < n Þ f(m) < f(n) e m > n Þ f(m) > f(n) .

    Prove que se uma função aditiva f (isto é, f(m.n) = f(m) + f(n) se o m.d.c (m, n) = 1) possui uma infinidade de pontos de estrangulamento ela é crescente.

     

     

     


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