XIX OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA - 1999
Modalidade: 1o. Grau (7a. e 8a. Séries)
Na equação 
, os números p e q são inteiros positivos.
a) Mostre que se essa equação tem duas raízes reais e iguais então, p é par.
b) Em que situação essa equação não possui raízes reais e iguais ? Justifique.
PROBLEMA 2
Azambuja escreveu __4__1__6__3__ no quadro de sua sala de aula. Disse para seus colegas que eles dispunham dos algarismos 9, 8 e 5 para colocar dois deles em dois espaçõs vazios, apagar os espaçõs não preenchidos e assim obter um número de seis algarismos diferentes. Quais algarismos devem ser escolhidos e onde colocá-los para formar o maior número possível que seja divisível por 6 ?
PROBLEMA 3
Achar todos os conjuntos de quatro inteiros consecutivos tais que o maior desses inteiros divida o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos outros três.
PROBLEMA 4
Se p e 
são números primos positivos, prove que p = 3.
PROBLEMA 5
Seja n um inteiro positivo e
a soma de todos os divisores positivos de n. Prove que 
, para todo n.
PROBLEMA 6
Sejam AB e CD duas retas paralelas cortadas por uma transversal nos pontos E e F, respectivamente. As linhas EM e EN tricectam o ângulo Ð FEB e as retas FL e FO tricectam o ângulo Ð EFD com (Ð FEM) < (Ð FEN) e (Ð EFL) < (Ð EFO). Seja P a interseção de EM e FL e Q a interseção de EN e FO. Através de P desenhe a reta paralela a FQ cortando EQ em G e a linha paralela a EQ cortando FQ em H. A linha GH corta AB em J e CD em K. Mostre
que JG = GH = HK.
Modalidade: 2o. Grau (Ensino Médio)
PROBLEMA 1
Um aviador está a uma distância h da Terra que vamos admitir como sendo uma esfera de raio r. Se S é a porção total da superfície da Terra visível pelo aviador, encontre S em termos de r e h.
PROBLEMA 2
Teorema: Para todo n, num conjunto de n bolas todas elas possuem a mesma cor
Corolário: Todas as bolas do mundo têm a mesma cor
Demonstração do Teorema
A demonstração do teorema será feita usando o Princípio da Indução Finita. O resultado é válido para n = 1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas têm a mesma cor ! Suponha que o teorema é válido para todo conjunto com i bolas. Considere um conjunto com i + 1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto restante possui i bolas e pela hipótese indutiva todas possuem a mesma cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarela desse conjunto e retorne a bola de cor desconhecida, anteriormente retirada. Obtemos novamente um conjunto com i bolas e pelo o que foi discutido anteriormente possui i – 1 bolas amarelas e pela hipótese indutiva possui todas as bolas de mesma cor. Segue que a bola de cor desconhecida também é amarela. Assim todas as i + 1 bolas são amarelas.
Como você sabe existem bolas de várias cores. Descubra o que está errado na demonstração do teorema.
PROBLEMA 3
Sejam a e z números complexos tais que 
. Mostre que se 
então 
.
PROBLEMA 4
No país da Verdade, onde ninguém mente, reuniram-se os amigos Marcondes, Francisco e Fernando. Entre os três ocorreu a seguinte conversa:
- Marcondes fala: estou escolhendo dois números inteiros positivos cujos valores não revelo e vou dar, em segredo, a soma deles para o Francisco e o produto deles para o Fernando.
- Francisco fala: o valor que me foi dado não excede 16.
- Fernando fala: eu não consigo achar os valores dos dois números escolhidos pelo Marcondes.
- Francisco fala: eu já sabia que você não encontraria os valores dos dois números.
- Fernando fala: ah, então eu sei quem são os dois números.
Agora responda:
a) Qual o valor que foi dado a Francisco ?
b) Baseado em que o Fernando fez a última afirmativa ?
PROBLEMA 5
Uma cidade tem um número finito de linhas de ônibus de modo que:
a) Cada linha tem, pelo menos, três paradas;
b) Cada duas paradas são ligadas por alguma linha;
c) Cada duas linhas têm uma única parada em comum.
Prove que cada linha tem o mesmo número de paradas, digamos n, e que por cada parada passa exatamente n linhas.
PROBLEMA 6
Dizemos que a função f possui um ponto de estrangulamento em n se:
m < n Þ f(m) < f(n) e m > n Þ f(m) > f(n) .
Prove que se uma função aditiva f (isto é, f(m.n) = f(m) + f(n) se o m.d.c (m, n) = 1) possui uma infinidade de pontos de estrangulamento ela é crescente.
