VII OLIMPÍADA DE MATEMÁ'TICA DO ESTADO DE GOIÁS - 1998

    Primeiro Nível



    1a Questão:

    O aniversário de João caiu no 2o domingo de maio, dia em que é comemorado o "Dia das Mães". João perguntou a sua mãe se esta coincidência iria se repetir sempre. Sua mãe respondeu que só quando o "Dia das Mães" ocorrer o mais cedo possível. Em que dia do mês é o aniversário de João?

     

    2a Questão:

    Um colar se rompeu quando duas amigas brincavam

    Uma fileira de pérolas escapou

    A sexta parte ao solo caiu

    Um terço, uma jovem salvou

    A décima parte a outra jovem salvou

    E com seis pérolas o colar ficou

    Digam-me, quantas pérolas tinha a fileira que escapou?

    3a Questão:

    O cubo da figura abaixo foi montado com 8 cubinhos iguais e cada aresta tem o comprimento de 2 arestas dos cubinhos como mostra a figura. O volume do cubo é igual ao de 8 cubinhos. Quantos cubinhos devemos acrescentar para formar um outro cubo de aresta igual ao comprimento de 3 arestas dos cubinhos? E qual é o volume do cubo final?

     

    4a Questão:

    Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua carga, respondeu-lhe o burro:

    - De que te queixas? Se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua.

    O cavalo pensou e parou de reclamar por achar que sua carga era menor que a do burro. Mal sabia ele que as cargas eram iguais! Quantos sacos cada um levava?

     

    5a Questão:

    Escreva os números de 2 a 40 com os seguintes critérios:

    1. Na primeira linha escreva os ímpares em ordem crescente;
    2. Na segunda linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 1a linha por 2 = 21 e em ordem crescente;
    3. Na terceira linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 2a linha por 4 = 22 e em ordem crescente;
    4. Continue até não encontrar mais números que possam ser obtidos desta forma;
    5. Finalmente na última linha escreva os números ausentes em ordem decrescente.

    6a Questão:

    1. Disponha os números de 1 a 4 no círculo de modo que 3 vizinhos consecutivos nunca formem uma seqüência crescente ou decrescente.
    2. Mostre que com os números 1, 2, 3, 4 e 5, qualquer disposição no círculo, fará com que 3 vizinhos consecutivos estejam em ordem crescente ou decrescente.

     

     

    Segundo Nível



    1a Questão:

    Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua carga, respondeu-lhe o burro:

    — De que te queixas? Se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se te der um saco, tua carga será o dobro da minha.

    Quantos sacos cada um levava?

     

     

    2a Questão:

    Arquimedes (287 a. C.) tri-seccionava um ângulo arbitrário DÔE = q usando a figura abaixo. Prove que o ângulo DÂE = .

    c: circunferência de raio r

    Dado: BA = OE = r.

     

    3a Questão:

    Qual é o maior valor de 19n - 3n2, onde n Î Z?

    4a Questão:

    Um quadrado mágico multiplicativo tem a propriedade de que os produtos dos números nas linhas, nas colunas e nas diagonais são iguais, como mostramos abaixo:

    Complete o quadrado mágico abaixo com números positivos.

    5a Questão:

    1. Nas figuras abaixo construídas com palitos de fósforo, calcule F, o número de triângulos formados com 3 palitos, L, o número de lados (palitos), e V, o número de vértices (encontro de dois ou mais lados).
    2. Sendo V o número de vértices, F o número de faces e L o número de arestas, calcule V - L + F para os sólidos abaixo.

    Cubo

    Tetraedro

    Octaedro

    6a Questão:

    A fórmula , onde é o semi perímetro, fornece a área de um triângulo com lados a, b e c.

    1. Esboce três triângulos com perímetro 9 sendo um deles equilátero;
    2. Qual dos triângulos do item i. tem maior área?
    3. Dê exemplo de um triângulo cuja área seja numericamente igual ao seu perímetro;
    4. Dê exemplo de um triângulo com lados inteiros e área igual ao seu perímetro.

     

     

    Terceiro Nível


    1a Questão:

    Arquimedes (287 a. C.) tri-seccionava um ângulo arbitrário DÔE = q usando a figura abaixo. Prove que o ângulo DÂE = .

    c: circunferência de raio r

    Dado: BA = OE = r.

     

     

    2a Questão:

    Seja p ³ 5 primo.

    1. Fatore p2 – 3p + 2.
    2. Mostre que p2 + 2 é múltiplo de 3.

     

    3a Questão:

    Uma maneira de calcular o valor aproximado da raiz quadrada de um número c > 0, conhecida desde a época dos babilônios, é calcular os termos da seqüência

    para algum valor inicial a1.

    1. Calcule os 4 primeiros termos desta seqüência começando com a1 = 1 e c = 2.
    2. Mostre que a seqüência an é sempre decrescente a partir de a2, isto é,

    a2 > a3 > ... > an > an + 1 > ...

    independente do valor inicial a1 e do número c > 0.

    4a Questão:

    Seja f : N ® N uma função onde f (n + 1) – f (n) = n e f (0) = 0.

    1. Determine f (1), f (2), f (3) e f (4);
    2. Ache f (n) em função de n apenas e calcule f (1998).

     

    5a Questão:

    As paralelas r e s abaixo representam as margens de um rio e os pontos A e B representam cidades em lados opostos desse rio. Deseja-se construir uma ponte PQ (P Î r e Q Î s) perpendicular as margens do rio de forma que construindo as estradas AP e BQ o percurso total de A até B seja mínimo. Em que pontos das margens devemos fixar as extremidades da ponte?

    6a Questão:

    Considere a função f(x) = 1 –, onde representa o valor absoluto de x, isto é, = x se x ³ 0 e = - x se x < 0 .

    1. Esboce o gráfico de f no intervalo [0, 1].
    2. Esboce o gráfico da função g(x) = f(f(x)).
    3. Resolva as equações g(x) = x e f(x) = x.

     

     


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