O aniversário de João caiu no 2^o domingo de maio, dia em que é comemorado o "Dia das Mães". João perguntou a sua mãe se esta coincidência iria se repetir sempre. Sua mãe respondeu que só quando o "Dia das Mães" ocorrer o mais cedo possível. Em que dia do mês é o aniversário de João?

Um colar se rompeu quando duas amigas brincavam

Uma fileira de pérolas escapou

A sexta parte ao solo caiu

Um terço, uma jovem salvou

A décima parte a outra jovem salvou

E com seis pérolas o colar ficou

Digam-me, quantas pérolas tinha a fileira que escapou?

O cubo da figura abaixo foi montado com 8 cubinhos iguais e cada aresta tem o comprimento de 2 arestas dos cubinhos como mostra a figura. O volume do cubo é igual ao de 8 cubinhos. Quantos cubinhos devemos acrescentar para formar um outro cubo de aresta igual ao comprimento de 3 arestas dos cubinhos? E qual é o volume do cubo final?

Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua carga, respondeu-lhe o burro:

- De que te queixas? Se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua.

O cavalo pensou e parou de reclamar por achar que sua carga era menor que a do burro. Mal sabia ele que as cargas eram iguais! Quantos sacos cada um levava?

Escreva os números de 2 a 40 com os seguintes critérios:

1. Na primeira linha escreva os ímpares em ordem crescente;
2. Na segunda linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 1^a linha por 2 = 2¹ e em ordem crescente;
3. Na terceira linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 2^a linha por 4 = 2² e em ordem crescente;
4. Continue até não encontrar mais números que possam ser obtidos desta forma;
5. Finalmente na última linha escreva os números ausentes em ordem decrescente.

1. Disponha os números de 1 a 4 no círculo de modo que 3 vizinhos consecutivos nunca formem uma seqüência crescente ou decrescente.
2. Mostre que com os números 1, 2, 3, 4 e 5, qualquer disposição no círculo, fará com que 3 vizinhos consecutivos estejam em ordem crescente ou decrescente.

Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua carga, respondeu-lhe o burro:

— De que te queixas? Se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se te der um saco, tua carga será o dobro da minha.

Quantos sacos cada um levava?

Arquimedes (287 a. C.) tri-seccionava um ângulo arbitrário DÔE = q usando a figura abaixo. Prove que o ângulo DÂE = .

c: circunferência de raio r

Dado: BA = OE = r.

Qual é o maior valor de 19n - 3n², onde n Î Z?

Um quadrado mágico multiplicativo tem a propriedade de que os produtos dos números nas linhas, nas colunas e nas diagonais são iguais, como mostramos abaixo:

Complete o quadrado mágico abaixo com números positivos.

1. Nas figuras abaixo construídas com palitos de fósforo, calcule F, o número de triângulos formados com 3 palitos, L, o número de lados (palitos), e V, o número de vértices (encontro de dois ou mais lados).
2. Sendo V o número de vértices, F o número de faces e L o número de arestas, calcule V - L + F para os sólidos abaixo.

A fórmula , onde é o semi perímetro, fornece a área de um triângulo com lados a, b e c.

1. Esboce três triângulos com perímetro 9 sendo um deles equilátero;
2. Qual dos triângulos do item i. tem maior área?
3. Dê exemplo de um triângulo cuja área seja numericamente igual ao seu perímetro;
4. Dê exemplo de um triângulo com lados inteiros e área igual ao seu perímetro.

1^a Questão:

Arquimedes (287 a. C.) tri-seccionava um ângulo arbitrário DÔE = q usando a figura abaixo. Prove que o ângulo DÂE = .

c: circunferência de raio r

Dado: BA = OE = r.

Seja p ³ 5 primo.

1. Fatore p² – 3p + 2.
2. Mostre que p² + 2 é múltiplo de 3.

Uma maneira de calcular o valor aproximado da raiz quadrada de um número c > 0, conhecida desde a época dos babilônios, é calcular os termos da seqüência

para algum valor inicial a₁.

1. Calcule os 4 primeiros termos desta seqüência começando com a₁ = 1 e c = 2.
2. Mostre que a seqüência a_n é sempre decrescente a partir de a₂, isto é,

a₂ > a₃ > ... > a_n > a_n + 1 > ...

independente do valor inicial a₁ e do número c > 0.

Seja f : N ® N uma função onde f (n + 1) – f (n) = n e f (0) = 0.

1. Determine f (1), f (2), f (3) e f (4);
2. Ache f (n) em função de n apenas e calcule f (1998).

As paralelas r e s abaixo representam as margens de um rio e os pontos A e B representam cidades em lados opostos desse rio. Deseja-se construir uma ponte PQ (P Î r e Q Î s) perpendicular as margens do rio de forma que construindo as estradas AP e BQ o percurso total de A até B seja mínimo. Em que pontos das margens devemos fixar as extremidades da ponte?

Considere a função f(x) = 1 –, onde representa o valor absoluto de x, isto é, = x se x ³ 0 e = - x se x < 0 .

1. Esboce o gráfico de f no intervalo [0, 1].
2. Esboce o gráfico da função g(x) = f(f(x)).
3. Resolva as equações g(x) = x e f(x) = x.