VIII OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO ESTADO DE GOIáS - 1999

    Primeiro Nível 1

     

    1a Questão:

    Observe a sequência formada com as letras A, B e C: ABC BCA CAB ABC BCA ...

      a. Qual a letra que se encontra na posição 23?

    b. Qual a letra que se encontra na posição 1999?

     

    2a Questão:

    Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem um número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem um número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Quantos filhos e filhas tem o casal?

     

    3a Questão:

    Carlos e Pedro possuem a mesma quantia em dinheiro. Carlos entretanto tem mais dinheiro que Fábio, que tem mais que José. Um outro colega, Mário, tem menos dinheiro do que Carlos e mais dinheiro que José e quantia diferente de Fábio. Além disso, Pedro tem menos dinheiro que seu amigo Ricardo.

    a. Escreva os nomes de Carlos, Pedro, Fábio, Mário e Ricardo segundo a ordem crescente das quantidades de dinheiro.

    b. Considerando que, deles todos, o mais pobre tem noventa reais e que a diferença entre o valor possuído por cada um deles e o imediatamente mais rico é de duzentos reais, quantos reais tem Ricardo?

     

    4a Questão:

    A partir de um quadrado de lado igual a 1, constrói-se um pentágono retirando-se um Triângulo retângulo cujos vértices são os pontos médios de dois lados consecutivos do quadrado e o vértice do quadrado, conforme a figura abaixo.

    Obtemos um novo pentágono retirando-se novamente um triângulo retângulo, agora o de vértice B.

    Continuando o processo teremos na 4ª etapa um quadrado novamente.

    Determine as áreas dos polígonos de cada etapa.

     

    5a Questão:

    Deseja-se cercar com arame uma área na forma de um quadrilátero de lados 150m, 100m, 90m, 75m. A cerca deve conter postes igualmente espaçados e ainda conter um poste em cada vértice. Calcule o número mínimo de postes necessários para cercar a área.

     

    6a Questão:

    Os números dispostos abaixo formam o triângulo de Pascal

    1

    1

    1

     

     

     

     

     

    1

    2

    1

     

     

     

     

    1

    3

    3

    1

     

     

     

    1

    4

    6

    4

    1

     

     

    1

    5

    10

    10

    5

    1

     

     

    Para entendermos melhor esta mostrar como ela é construída.

    • A primeira linha, que chamaremos de linha 0, possui apenas o número 1;
    • A segunda linha, que chamaremos de linha 1, possui os números 1 e 1;
    • Nas outras linhas sempre teremos o primeiro e último números iguais a 1, e os outros são obtidos somando-se o imediatamente superior com o elemento que o antecede na linha. Por exemplo, na linha 5, o 10 foi obtido somando-se o 6, que está imediatamente superior ao 10, e o 4 que está á esquerda de 6. Como mais um exemplo vamos preencher a linha 6 da tabela abaixo.

    1

    1

    1

     

     

     

     

     

    1

    2

    1

     

     

     

     

    1

    3

    3

    1

     

     

     

    1

    4

    6

    4

    1

     

     

    1

    5

    10

    10

    5

    1

     

    1

    5+1

    10 +5

    10+10

    5+10

    5+1

    1

     

    1. Complete o triângulo de Pascal abaixo
    2. 1

      1

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      1

      2

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

      1

      3

      3

      1

       

       

       

       

       

       

       

      1

      4

      6

      4

      1

       

       

       

       

       

       

      1

      5

      10

      10

      5

      1

       

       

       

       

       

      1

      6

      15

      20

      15

      6

      1

       

       

       

       

      1

       

      21

       

       

       

       

      1

       

       

       

       

      8

       

       

       

       

       

       

      1

       

       

      1

       

       

       

       

      126

       

       

      9

       

       

       

      10

       

       

       

       

       

       

       

       

      1

    3. Qual a sequência de números que se obtém quando somamos os elementos de cada linha?
    4. Quais as outras "coincidências", ou melhor, propriedades que você observa no Triângulo de Pascal?

     

     

    Segundo Nível

     

    1a Questão:

    Na figura abaixo os segmentos de reta r e s são paralelos. Então a soma dos ângulos

    será de quantos graus?

    2a Questão:

    Um número inteiro é um quadrado perfeito quando sua raiz quadrada é um número inteiro, por exemplo, 16 é um quadrado perfeito pois . Mostre que a soma dos quadrados de dois números inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.

     

    3a Questão:

    Seja ABC um triângulo qualquer e AH a altura em relação ao lado BC. Sejam M1 e M2 os pontos médios dos lados AB e AC respectivamente. Mostre que o ângulo é igual ao ângulo .

     

    4a Questão:

    A seqüência de Fibonacci (a1, a2 ,...,an , ...) é tal que a1 = a2 = l e an = an – 1 + an – 2 , para n ³ 3.

    1. Obtenha os 5 primeiros termos desta sequência.
    2. Mostre que an an + 1 - an – 1 an = (an)2 , para todo n ³ 2.
    3. Mostre que

    para todo n Î N.

     

    5a Questão:

    Quantos retângulos diferentes consistindo de um número inteiro de quadrados podem ser obtidos:

    1. em um tabuleiro 4 x 4 (ver figura abaixo)?
    2. em um tabuleiro 8 x 8?

    (considerando dois retângulos diferentes se eles possuírem dimensões diferentes, ou se ocuparem posições diferentes no tabuleiro).

     

    6a Questão:

    Um triângulo isósceles retângulo ABC, cujos lados iguais, AB e AC, medem 1 cm de comprimento, é cortado de uma folha de papel que é branco de um lado e preto do outro. O papel é dobrado movendo o vértice B ao longo BC de tal forma que a área da área da região de cor preta e a área da região de cor branca sejam iguais. Depois de dobrado, a que distância está o vértice C do vértice B?

     

     

    Terceiro Nível

     

    1a Questão:

    Seja ABC um triângulo qualquer e AH a altura em relação ao lado BC. Sejam M1 e M2 os pontos médios dos lados AB e AC respectivamente. Mostre que o ângulo é igual ao ângulo .

     

    2a Questão:

    A seqüência de Fibonacci (a1, a2 ,...,an , ...) é tal que a1 = a2 = l e an = an – 1 + an – 2 , para n ³ 3. Suponhamos que a seja um número real tal que

    a 2 = a + 1

    1. Verifique que a 3 = a3 a .+ a2 e que a 4 = a4 a .+ a3.
    2. Mostre que todas as potências inteiras positivas de a (n ³ 2) são representados por a n = an a + an – 1 .

     

    3a Questão:

    Quantos retângulos diferentes consistindo de um número inteiro de quadrados podem ser desenhados:

    1. em um tabuleiro (xadrez) 8 x 8?
    2. em um tabuleiro n x n?

    (considerando dois retângulos diferentes se eles possuírem dimensões diferentes, ou se ocuparem posições diferentes no tabuleiro).

     

    4a Questão:

    Determinar, se existirem, todos os números naturais n tal que podemos decompor o conjunto C = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5} em dois subconjuntos A e B disjuntos, não vazios, de forma que o produto dos elementos de A seja igual ao produto dos elementos de A seja igual ao produto dos elementos de B.

     

    *5a Questão:

    Seja P(x) = x3 + ax2 + bx + c um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que P(x) tem raízes inteiras e distintas. Mostre que a equação P(x) – 1 = 0 não admite raiz inteira.

    * Na versão final da prova a hipótese das raízes serem inteiras não apareceu, acarretando o anulamento da questão.

     

    6a Questão:

    1. Estude o comportamento do resto da divisão por 7 de 2xx2 sendo x um número inteiro positivo menor ou igual a 10000.
    2. Quantos são os inteiros positivos x £ 10000 tais que a diferença 2xx2 não é divisível por 7?

     

     


Voltar para o arquivo de provas
Voltar para o arquivo de provas sem utilizar frames