OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DO RIO GRANDE DO SUL 1998

    Primeiro Nível

     

    PROBLEMA 1

    Qual é o menor número de frações, com numerador igual a um (1), cuja soma é igual a 9/13? Determine as frações.

     

    PROBLEMA 2

    Considerando o algoritmo da divisão, substitua os X por algarismos de modo a tornar verdadeira a divisão indicada, justificando as escolhas. O algarismo 3 (três) aparece apenas nas posições indicadas.

    PROBLEMA 3

    Um grupo de pessoas dispõe de certo número de bancos para sentar. Sentando duas pessoas em cada banco, sobram vinte pessoas em pé; mas, sentando três pessoas em cada banco sobra um banco vazio. Quantos são os bancos e as pessoas?

     

    PROBLEMA 4

    Um recipiente está cheio com oito dm3 de vinho; dispõe-se de dois outros recipientes vazios com capacidades respectivas de cinco o três dm3. Determinar as operações que possibilitam dividir ao meio a quantidade inicial de vinho.

     

     

    Segundo Nível

     

    PROBLEMA 1

    Sejam ABCD um retângulo, P um ponto de CD, BP = AB e arco BCP uma semicircunferência. Sabendo-se que a área do triângulo BCP é igual a quatro vezes a área do triângulo APD e a área do triângulo ABP é 4, 8 dm2, determinar o perímetro do contorno da região hachurada.

    PROBLEMA 2

    Determinar o conjunto dos valores de x que satisfazem a inequação:

    PROBLEMA 3

    Provar que a equação de segundo grau ax2 + bx + c = 0 sempre tem raízes racionais se a + b + c = 0 e a, b e c forem inteiros.

     

    PROBLEMA 4

    Dado o retângulo ABCD constrói-se um triângulo AMN de vértices A, M em BC e N em CD. Mostrar que a área do triângulo não ultrapassa a metade da área de retângulo, quaisquer que sejam as posições de M e N conforme estabelecido acima.

     

     

    Terceiro Nível

     

    PROBLEMA 1

    Sendo n um número inteiro, prove que existem soluções inteiras x, y para a equação

    x2y2 = n se e só se n pode ser escrito como o produto de dois inteiros de mesma paridade.

     

    PROBLEMA 2

    Dado um número real r, indicaremos por {r} a parte fracionária da representação decimal de r. Por exemplo: {2, 78} = 0,78 e {0, 45} = 0,45.

    Assim sendo, seja a função y = f(x), definida em cada x real positivo por:

    Pede-se:

    1. achar um x > 0 para o qual f(x) = 1
    2. construir um algorismo (= procedimento) capaz de calcular sistemáticamente infinitos x > 0 verificando f(x) = 1.

     

    PROBLEMA 3

    Mostrar que cada n inteiro positivo:

     

    PROBLEMA 4

    Para cada n inteiro positivo, seja Pede-se provar que, para cada n ³ 2, vale: .

     

    PROBLEMA 5

    De cada uma de três varetas de mesmo comprimento l, quebrou-se um pedaço. Calcular a probabilidade de que seja possível construir um triângulo com esses três pedaços.

     


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