OLIMPÍADAS SERGIPANAS DE MATEMÁTICA – 1999

    Primeira Fase - Nível 1 (5a. e 6a. séries)

     

    QUESTÃO 1:

    Jacira consegue datilografar 20 páginas de um manuscrito em 4 horas e Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 páginas do manuscrito para datilografar. Se as duas começarem a datilografar no mesmo instante essas páginas, quantas páginas deverá pegar a mais lenta, de forma que ambas terminem juntas?

    a) 225

    b) 500

    c) 400

    d) 450

    e) 180

     

    QUESTÃO 2:

    O professor Epaminondas, no primeiro dia de aula, apostou que, entre os alunos daquela classe, pelo menos dois fariam aniversário no mesmo dia do mês. O professor tinha certeza de que ganharia a aposta, pois naquela classe o número de alunos era maior ou igual a:

    a) 15

    b) 32

    c) 28

    d) 31

    e) 30

     

    QUESTÃO 3:

    Seu Pedro possui três lotes quadrados: um deles tem lado de 10 metros, e os outros dois têm lados de 20 metros cada. Seu Pedro quer trocar os três lotes por um outro lote quadrado, cuja área seja a soma das áreas daqueles três lotes. O novo lote deverá ter lado de medida:

    a) impossível de se obter

    b) 24 metros

    c) 25 metros

    d) 40 metros

    e) 30 metros

     

    QUESTÃO 4:

    Um jogo consiste em partir da casa 1 à casa 36 numa trilha com casas numeradas de 1 a 36. Os dois jogadores começam na casa 1 e o avanço de casas depende do lançamento de dois dados cúbicos comuns.

    - Se a soma dos pontos for par, o jogador avança 3 casas.

    - Se a soma dos pontos for ímpar, o jogador avança 1 casa.

    - Se o jogador ultrapassar a última casa, retorna à casa 1.

    - A ordem com que os jogadores iniciam suas jogadas é definida por alguma forma de sorteio.

    - Ganha quem parar primeiro na casa 36.

    O menor número de jogadas que alguém pode fazer e ganhar é:

    a) 37

    b) 13

    c) 12

    d) 14

    e) 17

     

    QUESTÃO 5:

    Qual dos número a seguir é o maior?

    a) 345

    b) 920

    c) 2714

    d) 2439

    e) 8112

     

    QUESTÃO 6:

    Um menino joga três dados e soma os números que aparecem nas faces voltadas para cima. O número de diferentes resultados dessa adição é:

    a) 12

    b) 18

    c) 216

    d) 16

    e) 15

     

     

    Primeira Fase - Nível 2 (7a. e 8a. séries)

     

    QUESTÃO 1:

    No modo SP, o aparelho de video cassete grava exatamente duas horas e, no modo EP, grava quatro horas de filme, com menor qualidade. Carlinhos quer gravar um filme com 136 minutos, com a maior qualidade possível. Ele decidiu começar no modo EP e terminar no modo SP. Após quantos minutos de gravação no modo EP ele deve passar ao modo SP?

    a) 20

    b) 16

    c) 8

    d) 32

    e) 68

     

    QUESTÃO 2:

    Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 cm e pertecem ao interior de uma circunferência, da qual estão a uma distância de 1 cm. O raio da circunferência, em centímetros, é:

    a) 5

    b) 7

    c) 2,5

    d) 4,2

    e) 3,

     

    QUESTÃO 3:

    Um número de dois algarismos não nulos é igual ao dobro do produto desses algarismos. Esse número pertence ao conjunto:

    a) {11,12,…,30}

    b) {31,32,…,50}

    c) {51,52,…,70}

    d) {71,72,…,90}

    e) {91,92,…,99}

     

    QUESTÃO 4:

    Determine com quantos zeros consecutivos termina a representação decimal do número

     

    QUESTÃO 5:

    Considere cinco pontos no interior de um quadrado de lado 1. Mostre que pelo menos uma das distâncias dij entre Pi e Pj é menor que .

     

    QUESTÃO 6:

    Determine todos os valores do coeficiente para os quais as equações e tem no mínimo uma raiz comum.

     

     

    Primeira Fase - Nível 3 (Ensino médio)

     

    QUESTÃO 1:

    Considere três circunferências concêntricas (mesmo centro T)de raios 1,2 e 3 respectivamente. Considere um triângulo cujos vértices pertencem, um a cada uma das circunferências. Sabendo que o triângulo tem área máxima sob essas condições, podemos afirmar que, para este triângulo, o ponto T é o:

    a) baricentro

    b) incentro

    c) circuncentro

    d) ortocentro

    e) ex-incentro

     

    QUESTÃO 2:

    Mostre que, dados 5 pontos do plano em posição geral (isto é, três pontos quaisquer nunca estão em linha reta), há 4 que formam um quadrilátero convexo.

     

    QUESTÃO 3:

    a) 0,2222…

    b) 0,3333…

    c) 0,4444…

    d) 0,5555….

    e) 0,6666…

     

    QUESTÃO 4:

    A soma das raízes de

    a) – 3

    b)

    c) 1

    d)

    e) 3

     

    QUESTÃO 5:

    Barcas vão do Rio a Niterói em 25 minutos e lanchas fazem a viagem em 15 minutos. A que horas a barca que partiu do Rio às 10h 01 min é alcançada pela lancha que saiu do Rio às 10h 07 min?

    a) 10h 15min

    b) 10h 16min

    c) 10h 17min

    d) 10h 18min

    e) 10h 20min

     

    QUESTÃO 6:

    Os lados de um triângulo medem 3, 7 e 8, respectivamente. Mostre que os ângulos deste triângulo, medidos em graus, formam uma progressão aritimética.

     

     

    OLIMPÍADAS SERGIPANAS DE MATEMÁTICA – 1999

    Segunda Fase - Nível 1 (5a. e 6a. séries)

     

    QUESTÃO 1:

    Calcular 99999992.

     

    QUESTÃO 2:

    Qual o número de saltos que deve dar um cão para alcançar um coelho que leva 75 saltos de avanço, sabendo-se que se o cão dá dois saltos enquanto o coelho dá 3, e que 5 saltos deste valem dois daquele?

     

    QUESTÃO 3:

    Dois números tem por razão 5/8, e m.d.c. 21. Achar os números.

     

    QUESTÃO 4:

    Uma bola elástica, cada vez que cai, torna a saltar uma altura igual a 3/5 da altura de onde caiu. Deixou-se a bola cair de uma altura de 12 metros. Quantas vezes a bola deve quicar para atingir uma altura abaixo de 4 metros pela primeira vez?

     

    QUESTÃO 5:

    O valor de

    a)

    b)

    c) 1

    d) 315

    e) 515

     

    QUESTÃO 6:

    Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que:

    a. As meias retiradas contenham um par da mesma cor?

    b. As meias retiradas contenham um par de cor branca?

     

     

    Segunda Fase - Nível 2 (7a. e 8a. séries)

     

    QUESTÃO 1:

    Simplificar:

     

    QUESTÃO 2:

    Prove que:

    onde n é um natural.

     

    QUESTÃO 3:

    Resolva:

    QUESTÃO 4:

    Considere a equação do segundo grau: Sendo a e B as raízes dessa equação. Calcule, em termos de a, b e c, .

     

    QUESTÃO 5:

    Os segmentos que unem os centros dos lados opostos de um quadrilátero convexo são iguais a a e b, e se cortam formando um ângulo de 60o . Achar as diagonais do quadrilátero.

     

    QUESTÃO 6:

    Determine o menor inteiro positivo, n, que satisfaz a equação , onde b é o quadrado de um inteiro ímpar.

     

     

    Segunda Fase - Nível 3 (Ensino médio)

     

    QUESTÃO 1:

    Calcule

     

    QUESTÃO 2:

    Prove que sen(cos x)< cos(sen x) para .

     

    QUESTÃO 3:

    Achar o comprimento da corda interceptada pela reta na circunferência

     

    QUESTÃO 4:

    Duas cidades A e B estão em lados opostos de um canal estreito e distam dele a e b respectivamente; mas o solo for a do canal é mole e úmido de maneira que o custo por km para fazer a estrada a partir de A é x cruzeiros, e a partir de B a estrada custa kx cruzeiros. Em que local deve a estrada ser construída para ser mais barata?

     

    QUESTÃO 5:

    Fatorar

     

    QUESTÃO 6:

    Se , calcule n6.

     

    QUESTÃO 7:

    Os segmentos de reta AO, OB e OC são mutuamente perpendiculares. Expresse a área do triângulo ABC em termos das áreas dos triângulos OBC, OCA e OAB.

     


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