X Olimpíada do Cone Sul-Primeiro teste de seleção

27 de março de 1999

Problema 1

Em um tabuleiro 1999 x 1999 encontra-se um certo número de torres(torre é uma peça que se move horizontalmente ou verticalmente).Prove que é possível colorir as torres utilizando três cores de modo que nenhuma torre ataque outra de mesma cor (uma torre ataca outra quando ambas estão na mesma linha ou coluna sem peças intermediárias).

Problema 2

Encontre todas as soluções reais de x.[x.[x.[x]]]=88, onde [x] é o inteiro satisfazendo [x] <= x < x+1 (por exemplo, [3,7]=3,[4]=4 e [-pi]=-4).

Problema 3

A bissetriz do ângulo B em um triângulo ABC intercepta o lado AC no ponto D.Seja E um ponto sobre o lado BC tal que 3CÂE =2BÂE. Os segmentos BD e AE interceptam-se no ponto P.Se ED=AD=AP,determine os ângulos do triâgulo.

Problema4

Mostre que há infinitos naturais n tais que n^2+1 divide n!,onde n!=n.(n-1)....2.1(por exemplo,4!=4.3.2.1=24).

Problema 5

Considere um polígono convexo com 2000 lados no plano.Prove que é possível escolher 1998 pontos no plano tais que qualquer triângulo formado por vértices do polígono tenha exatamente um dos pontos escolhidos em seu interior.