XXI TORNEIO INTERNACIONAL DAS CIDADES
Júnior - Nível 0 (7a. e 8a. Séries)
A pontuação máxima que pode ser obtida em cada problema é mostrada entre colchetes
.
PROBLEMA 1
a) Um triângulo retângulo feito de papel é dobrado ao longo de uma reta de tal forma que o vértice do ângulo reto coincide com um dos outros vértices.
Em qual razão as diagonais do quadrilátero obtido dividem-se ?
b) Um triângulo retângulo de área 1 feito de papel é dobrado ao longo de uma reta de tal forma que o vértice do ângulo reto coincide com um dos outros vértices. O quadrilátero obtido é dividido pela diagonal que passa pelo terceiro vértice do triângulo. Determine a área do menor pedaço de papel determinado por esta divisão.
PROBLEMA 2
Triplas de inteiros a, b, c para as quais a + b + c = 0 são consideradas. Para cada tripla calculamos o inteiro d = a1999 + b1999 + c1999.
(a) Podemos ter d = 2?
(b) Podemos ter d primo?
PROBLEMA 3
n retas são traçadas no plano de tal forma que cada uma intersecte exatamente 1999 outras. Determine n (dê todas as respostas possíveis)
PROBLEMA 4
Na Itália, fabricantes produzem relógios nos quais o ponteiro das horas dá uma volta a cada 24 horas, enquanto que o ponteiro dos minutos dá 24 voltas; o ponteiro dos minutos é maior do que o ponteiro das horas (num relógio comum, o ponteiro das horas dá duas voltas a cada 24 horas enquanto que o dos minutos dá 24). Quantas posições dos dois ponteiros e da marca 0 podem ocorrer nos relógios italianos num intervalo de 24 horas e também nos relógios comuns ? (a marca 0 é a posição marcando 24 horas no relógio italiano e 12 horas no relógio comum)
PROBLEMA 5
São dados cartões 2 ´ 1 de cartolina com uma diagonal desenhada em cada um. Assim, há dois tipos de cartões (já que as diagonais podem ser traçadas de duas formas) e dispõe-se de um suprimento ilimitado de cada tipo. É possível escolher 18 cartões e dispô-los em um quadrado 8 ´ 8 de tal forma que os extremos das diagonais nunca coincidam ?
Sênior - Nível 0 (Ensino Médio)
PROBLEMA 1
O incentro de um triângulo é ligado a seus vértices. Desta forma, o triângulo fica dividido em três triângulos menores. Um destes triângulos é semelhante ao triângulo original. Determine seus ângulos.
PROBLEMA 2
Prove que existem infinitos inteiros positivos ímpares n para os quais 2n + n é composto.
PROBLEMA 3
n planos são traçados no espaço de tal forma que cada uma intersecte exatamente 1999 outros. Determine n (dê todas as respostas possíveis)
PROBLEMA 4
É possível escolher 50 intervalos (possívelmente com superposição) na reta real satisfazendo as suas seguintes condições ?
(a) os comprimentos dos intervalos são 1, 2, 3, …, 50?
(b) os extremos dos intervalos são todos os inteiros de 1 a 100.
PROBLEMA 5
São dados cartões 2 ´ 1 de cartolina com uma diagonal desenhada em cada um. Assim, há dois tipos de cartões (já que as diagonais podem ser traçadas de duas formas) e dispõe-se de um suprimento ilimitado de cada tipo. É possível escolher 32 cartões e dispô-los em um quadrado 8 ´ 8 de tal forma que os extremos das diagonais nunca coincidam ?
