1,618 : Desvendando os segredos matemáticos do Código da Vinci

VIII Semana Olimpica - Ibiúna - SP

Emanuel Carneiro - emanuelc@baydenet.com.br

19 de janeiro de 2005

O que este número 1,618 significa? Visto assim parece um pouco estranho...Na verdade eu vos digo que esta é só uma aproximação do verdadeiro número de ouro da matemática, por outros chamado de proporção divina. Este número é especial:

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Misteriosamente, e muito mais do que possamos imaginar, este número aparece por todas as partes na natureza. Em criações de Deus ou do homem, vários elementos guardam entre si a proporção divina, por motivos ainda não totalmente conhecidos, que vão desde a simples beleza estética ao real funcionalismo dessa proporção. A razão entre o número de fêmeas e de machos em uma colônia de abelhas vale aproximadamente...φ. Em uma concha que tem formato em espiral, a razão de um raio da espiral para o seguinte é...φ. Nas sementes de girassol aparece φ. No corpo humano, várias das medidas guardam a divina proporção, por exemplo: a razão entre sua altura e a distância umbigo-chão, a razão quadril-chão : joelho-chão, ombro - ponta do dedo : cotovelo - ponta do dedo, nos nós dos dedos, na coluna vertebral... Impressionado com tantas coincidências (ou não...) o homem trouxe para sua arte o número de ouro: no Parthenon grego, nas Pirâmides do Egito, em quadros de da Vinci, Michelangelo, e até em sinfonias de Beethoven e Mozart.

Na matemática, não poderia ser diferente. Este número esconde vários segredos e quando menos esperamos ele surge. Vocês conhecerão agora um pouquinho da história e dos mistérios matemáticos do número áureo. Bom trabalho!

Problema 1

Determine o valor exato de cos 18^{∘}.

Problema 2

Ache o comprimento da diagonal de um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1.

Problema 3

Conheça a seqüência de Fibonacci:

F_{1} = F_{2} = 1 ; F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}

(a) Você seria capaz de encontrar uma fórmula fechada para F_{n}?

(b) A razão \frac{F_{n+1}}{F_{n}} se aproxima de que número quando n cresce?

Problema 4

(OBM/02 - 1a fase) Seja φ a maior raiz da equação x^{2} − x − 1 = 0. Encontre o valor de φ^{5} − 5φ.

Problema 5

(Teste Seleção IMO/03) Seja φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. Encontre todos os naturais n tais

que φ^{n} − n^{2}φ seja inteiro.

Problema 6

(Problema da rã saltadora) Temos um tabuleiro infinito no qual marcamos uma linha horizontal, que vamos chamar de linha rosa. Você pode colocar algumas rãs (quantas você quiser, no máximo uma por casa) abaixo da linha rosa. Uma rã pode saltar por sobre outra e parar na casa seguinte, se esta estiver vazia. A rã por sobre a qual a outra pulou é retirada do tabuleiro (igual aos movimentos do Resta Um). O seu objetivo é fazer com que uma rã chegue o mais alto possível no seu tabuleiro. Até qual linha acima da linha rosa você consegue chegar?

Problema 7

(Jogo de Whitoff) Há duas pilhas de palitos. Duas pessoas vão jogar alternadamente. Na sua vez, cada jogador pode: retirar qualquer quantidade de palitos de uma mesma pilha ou retirar a mesma quantidade de palitos das duas pilhas. Vence o jogador que retirar o último palito. Dependendo das condições iniciais, descubra qual jogador possui a estratégia vencedora.

Referências

[1] Dan Brown, The da Vinci Code, Corgi Books, 2003.

[2] Miguel de Guzman, Contos com Contas, Gradiva, 1995.

[3] Miguel de Guzman, Aventuras Matemáticas, Gradiva, 1995.

[4] Emanuel Carneiro, O jogo de Whitoff, V Semana Olímpica, Vila Velha, ES, 2002.