Polinômios Quadrados e Corpos Quadráticos

VIII Semana Olimpica - Ibiúna - SP

Emanuel Carneiro - emanuelc@baydenet.com.br

19 de janeiro de 2005

1 Polinomios Quadrados

Para começarmos, dois problemas da Putnam Competition. Como referência, veja [1].

Problema 1

(Putnam/98) Prove que para quaisquer inteiros a, b, c existe um inteiro positivo n tal que:

\sqrt{n^{3} + an^{2} + bn + c}

não é inteiro.

Problema 2

(Putnam/88) Prove que existe uma infinidade de pares ordenados (a, b) de inteiros tais que para qualquer inteiro t, o número at + b é triangular se e somente se t for triangular.

Nota: Um número é dito triangular quando é da forma t = \frac{n(n + 1)}{2} para n = 0, 1, 2, ....

Bem, você pode tentar resolver estes exercícios na moral, mas com a próxima proposição certamente eles se tornarão mais fáceis...

Proposição 1. Seja P (x) um polinômio de coeficientes inteiros. Suponha que para cada natural n, P (n) é um quadrado perfeito. Então P (x) é o quadrado de um polinômio com coeficientes inteiros.

Problema 3

Ache TODOS os pares de inteiros (a, b) que satisfazem as condições do problema 2.

Problema 4

(Desafio) Será possível generalizarmos nossa proposição para o caso de P (n) ser uma k-ésima potência para qualquer valor de n então P (x) = Q(x)^{k}? Bem eu ainda não sei isso até o presente momento, se alguém quiser discutir isso...

2 Corpos Quadráticos

Agora veremos alguns exercícios na parte de Teoria Algébrica dos Números, explorando as extensões quadráticas e basicamente os domínios fatoriais ℤ[i] (inteiros de Gauss) e ℤ[w] (inteiros de Einsenstein). Uma ótima referência deste assunto voltada para olimpíada está na Eureka 14, veja [2].

Problema 5

Determine todos os inteiros n ∈ ℕ que se escrevem como soma de dois quadrados.

Problema 6

Determine todos os inteiros n ∈ ℕ que se escrevem da forma a^{2} + ab + b^{2} para a, b inteiros.

Problema 7

Encontre todas as soluções inteiras de:

y^{3} = x^{2} + 1

Problema 8

Sejam x, y, z ∈ ℕ tais que xy = z^{2} + 1. Prove que existem inteiros a, b, c, d tais que x = a^{2} + b^{2}, y = c^{2} + d^{2} e z = ac + bd.

Problema 9

Mostre que se 5 é raiz primitiva de p primo, então p divide F_{p+1}, onde F_{p+1} é o (p + 1)-ésimo número de Fibonacci (F_{1} = F_{2} = 1).

Referências

[1] Kedlaya,K., Poonen, B., Vakil, R., The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985 - 2000, MAA, 2002.

[2] Fujiwara, G. Inteiros de Gauss e inteiros de Eisenstein, Eureka!, vol 14, 2002.

[3] Ireland, K., Rosen, M., A Classical Introduction To Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1990.