II Vingança Olímpica

19 de Janeiro de 2003

A duração da prova é de 4 horas e meia. A sua pontuação é baseada nos quatros problemas em que você atingir a maior pontuação. Note que os problemas possuem diferentes pontuações.

1. Seja ABC um triângulo e Γ sua circunferência circunscrita. D é o ponto médio do arco BC (que não contém A). E é a interseção da mediatriz de \overline{BD} com \overline{BC}, F é a interseção da paralela a \overline{AB} por D com \overline{AC}, G é a interseção de \overline{EF}com \overline{AB} e H a de \overline{GD} com \overline{AC}. Mostre que o triângulo AGH é isósceles. [3 pontos]

2. Seja a sequência x_{n} definida x_{0} ∈ ℕ e x_{n+1} = (∏ _{i=0}^{n} x_{i}) + 1. Prove que existe p primo tal que p |̸ x_{n}, ∀n ≥ 0 [4 pontos]

3. Seja ABC um triângulo com ∠BAC = 60^{o}. Sejam A′ o simétrico de A com relação a \overline{BC}, D o ponto sobre \overline{AC} tal que \overline{AB} = \overline{AD} e H o ortocentro de ABC. S l é a bissetriz externa de ∠BAC e M = \overline{A′D} ∩ l e N = \overline{CH}∩ l, mostre que \overline{AM} = \overline{AN}.[4 pontos]

4. Definamos uma represa e sua barreira como um par de conjuntos finitos A e B de pontos no reticulado, sendo A conexo pela relação de vizinhança dada por |a − b| = 1, tais que dado a ∈ A, para qualquer x do reticulado, com |a − x| = 1, temos que x ∈ A ∪ B. Dado |B| = k, ache o maior valor que |A| pode assumir. [5 pontos]

5. Existem p^{2}, onde p é primo, crianças dispostas em um bairro como num tabuleiro p × p. Há também duas distribuidoras de doces, a Cledmilson Marmotta e a Estrogonofre’s. A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para cada uma das p linhas horizontais, sendo que o vendedor da i-ésima linha tem i kg de doce de jiló e distribui igualmente entre as p crianças. Da mesma forma a Estrogonofre’s manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais, sendo que o vendedor da j-ésima linha tem j kg de doce de jaca e distribui igualmente entre as p crianças. De quantas maneiras podemos escolher um grupo de crianças do bairro para roubar-lhes os doces de forma que a quantidade de cada tipo de doce roubada seja inteira? [6 pontos]

6. Ache todas as funções de f : ℝ^{∗} ) ℝ sem pontos fixos satisfazendo

f(y(f(x) − x)) = \frac{f(x)}{y} − \frac{f(y)}{x} para todo x, y ≠ 0

[6 pontos] 7. Seja X um subconjunto de ℝ de m elementos positivos. Determine X

nessas condições tal que maximize o número de subconjuntos de X de mesma soma. [8 pontos]